Véritables cartes mathématiques, les Mutagrammes permettent de visualiser certaines transformations combinatoires. Ils nous permettent de voir comment les combinaisons se transforment les unes en les autres sous l’effet de certaines opérations.

Chaque ligne tracée dans un Mutagramme représente un lien entre 2 combinaisons différentes. Ce lien signifie qu’une combinaison est modifiée, devenant ainsi une autre combinaison. Mais qu’entendons-nous exactement par « combinaison » et par « transformation » ?

Une combinaison en mathématique c’est exactement la même chose qu’une combinaison dans la vie. Et puisqu’il s’agit de mathématiques, on les écrira sous la forme de séries de chiffres. Voici quelques exemples :

01234, 111034, 333, 3003, 53412, 555444, 545454 …

Qu’on aurait très bien pu écrire avec des lettres :

ABCDE, BBBADE, DDD, DAAD, FCEBCA, FFFEEE, FEFEFE …

Ou des couleurs :

••••••, ••••••, •••, ••••, ••••••, ••••••, •••••• …

Le nombre de combinaisons possibles dépend bien sûr des éléments que l’on combine et des limites que l’on se fixe pour le faire.

Par exemple, il existe 64 manières d’agencer 2 symboles différents sous forme de combinaisons de 6 éléments : 000000, 000001, 000010, 000011, …, 011001, …, 111011 etc. À partir de ce types de combinaison on construira donc des Mutagrammes comportant 64 lignes.

Autre exemple, il existe 720 manières d’agencer 6 symboles différents sous forme de combinaisons de 6 éléments faisant apparaître chaque symbole exactement 1 fois : ABCDEF, ABCDFE, ABCEDF, …, DFCBAE, …, FEDCAB, etc. À partir de ce types de combinaison on construira des Mutagrammes de 720 lignes.

Si l’on a de la patience – qualité dont on peut se passer lorsqu’on dispose d’un ordinateur – il n’est pas très difficile d’écrire la liste de toutes les combinaisons possibles d’un certain type. Très bien… et les Mutagrammes dans tout cela ?

Il se trouve qu’un Mutagramme met en jeu toutes les combinaisons. Donc pour faire un Mutagramme, il faut lister l’ensemble des combinaisons qui existent. Ensuite on les place symboliquement tout autour d’un cercle sous forme de points imaginaires disposés dans un ordre précis – que je ne détaille pas ici. Une fois ce cadre mis en place, il reste à tracer les lignes qui relient des combinaisons 2 à 2, et pour ce faire, il faut utiliser une transformation.

Un Mutagramme représente une transformation qui modifie les combinaisons d’une manière qui lui est propre. Donc, la première chose à faire est choisir quelle transformation on souhaite visualiser sous forme d’un Mutagramme. Choisissons donc une transformation !

Disons que l’on s’intéresse aux combinaisons comportant 6 éléments chacune et pour lesquelles chaque élément n’apparaît qu’une fois (ni plus, ni moins).

Voici par exemple une combinaison possible parmi les 720 qui existent :

3.1.0.4.2.5

Et pour agir sur cette combinaison, voici une transformation possible décrite sous la forme d’une procédure :

1. Intervertir les 2 premiers éléments (ici 3.1 devient 1.3),
2. Ne pas toucher au 3ème élément,
3. Faire tourner les 3 derniers éléments d’un cran (ici 4.2.5 devient 5.4.2).

Sous l’effet de cette transformation, la combinaison 3.1.0.4.2.5 devient la combinaison 1.3.0.5.4.2.

Suivant une telle procédure, on voit bien que quelque soit la combinaison d’un type donné que l’on choisit au départ, il existe forcément une combinaison du même type à l’arrivée. Ainsi, toutes les combinaisons d’un certain type qui existent peuvent être reliées à une autre du même type par une telle transformation. En mathématique ce type de transformation s’appelle une « permutation ».

Sous l’action d’une permutation choisie, chaque combinaison va se transformer en une autre. Chaque point sur le cercle sera donc relié à un autre point. C’est ainsi que se dessine une figure qui nous montre l’action d’une transformation sur l’ensemble des combinaisons.

Et cette figure s’appelle un Mutagramme !

Un Mutagramme c’est donc cela ! Une carte qui relie toutes combinaisons entre elles nous faisant voir l’action d’un transformation mathématique sur les combinaisons. Pour chaque transformation, il existe un Mutagramme.

Si vous êtes arrivé jusque là vous savez maintenant ce qu’est un Mutagramme. La suite est un bonus pour les plus aventureux d’entre vous.

La question qui pourra avoir traversé votre esprit en lisant les passages précédents est peut-être celle de savoir comment sont réalisées en pratique les opérations de transformation que nous avons décrites plus haut sous forme de procédure.

La réponse réside dans un objet fondamental pour les mathématiciens appelé « matrice ». La matrice est l’objet mathématique grâce auquel on va pouvoir transformer les permutations en effectuant non pas des procédures, mais des calculs (évidemment !). Un matrice, c’est un tableau de nombres.

Dans ce contexte, les chiffres que l’on utilise pour écrire une permutation prennent tout leur sens. Ils vont être multipliés et additionnés avec les nombres contenus dans la matrice selon une procédure standard (on n’échappe pas tout à fait aux procédures !).

Reprenons la procédure décrite plus haut :

1. Intervertir les 2 premiers éléments,
2. Ne pas toucher au 3ème élément,
3. Faire tourner les 3 derniers éléments d’un cran.

La matrice correspondant à cette procédure est la suivante :

Le reste est une simple affaire de calculs. Les chiffres de la combinaison seront multipliés tantôt par les ‘1’ tantôt par les ‘0’ de la matrice et seront ainsi tantôt conservés, tantôt supprimés – mais jamais modifiés. Le résultat est une nouvelle combinaison contenant exactement les mêmes chiffres mais présentés dans un ordre différent. La transformation effectuée est donc bien une permutation, et la matrice correspondant est appelée une « matrice de permutation ».

Et pour s’assurer que la matrice qu’on utilise sera bien une matrice de permutation – à savoir que son action ne fera que modifier l’ordre des chiffres de la combinaison – il suffit de respecter la règle suivante : la matrice doit comporter exactement un seul ‘1’ par ligne et par colonne, et le reste est rempli de ‘0’. Ça marche à tous les coups !

Un Mutagramme est donc aussi une manière de représenter une matrice de permutation. Et changer la positions des ‘1’ revient à changer de transformation et donc de Mutagramme. Reste à explorer tout cela et découvrir l’incroyable bestaire des Mutagrammes !